1-Староста подал в деканат следующие сведения: «В группе учатся 19 студентов, в том числе 13 девушек. Получают стипендию 11 студентов, в том числе 7 девушек. В общежитии живут 15 студентов, среди которых 9 девушек и 8 студентов, получающих стипендию. Среди девушек, получающих стипендию, 5 живет в общежитии». Проанализировав данные, в деканате обнаружили, что сведения противоречивы. Покажите, что это действительно так.
2-В разложении (x+y)^5 найти коэффициент при x^2 y^3
3а. Аудитория освещается тремя рядами ламп, по 6 одинаковых ламп в ряду. В каждом ряду перегорело ровно по одной лампе. Сколько вариантов освещения при этом могло возникнуть?
3б. У Маши и Андрея родились трое мальчиков-близняшек. После долгих обсуждений родители составили список из 11 понравившихся им мужских имен. Сколькими способами они смогут отобрать из них три имени для своих мальчиков?
3в. В цветочном магазине продаются тюльпаны пяти цветов. Сколько видов букетов из 11 тюльпанов может составить продавец этого магазина? 3г Студенческое научное сообщество состоит из 20 членов. Надо выбрать президента общества, вице-президента, казначея и секретаря Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать только один пост?
4. Сколькими способами трое ребят могут разделить между собой 7 конфет «Мишка на севере», 5 конфет «Маска», 11 конфет «Красная шапочка» (никаких ограничений на способ раздела нет)?
5. Сколькими способами можно расположить в ряд семь одинаковых синих и десять различных красных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали
рядом?
6. В лифт вошли 9 человек. Сколькими способами они могут распределиться на 4 этажах так, чтобы на каждом этаже вышел хотя бы один человек?
Ответы
Ответ:
Объяснение:
1) Проанализируем каждое предложение.
В группе учатся 19 студентов, в том числе 13 девушек.
Значит, остальные 6 студентов в группе - парни.
Получают стипендию 11 студентов, в том числе 7 девушек.
Значит, 4 парня получают стипендию.
Остальные 6 девушек и 2 парня стипендию не получают.
В общежитии живут 15 студентов, среди которых 9 девушек и 8 студентов, получающих стипендию.
Из 15 студентов - 9 девушек и 6 парней. Значит, все парни из группы живут в общежитии.
Из 15 студентов - 8 получают стипендию и 7 не получают.
Так как все парни живут в общежитии, то 4 получают стипендию и 2 не получают.
Из 8 человек, живущих в общежитии и получающих стипендию -
4 парня и 4 девушки.
Среди девушек, получающих стипендию, 5 живет в общежитии.
Это предложение противоречит предыдущему выводу.
Должно быть 4 девушки, живущих в общежитии и получающих стипендию
2) (x + y)^5 = x^5 + C(1,5)*x^4*y + C(2,5)*x^3*y^2 + C(3,5)*x^2*y^3 + C(4,5)*xy^4 + y^5
C(3,5) = (5*4*3)/(1*2*3) = 5*4/2 = 10
Ответ: 10x^2*y^3
3а) В 1 ряду перегорела 1 лампа из 6 - это 6 вариантов.
Во 2 ряду тоже перегорела 1 лампа из 6 - это тоже 6 вариантов.
И в 3 ряду перегорела 1 лампа из 6 - это тоже 6 вариантов.
Всего 6*6*6 = 216 вариантов.
3б) Это сочетания из 11 элементов по 3.
Сочетания, потому что близнецы одинаковые, и не имеет значения, кому какое имя достанется.
C(3,11) = (11*10*9)/(1*2*3) = (11*5*2*3*3)/(2*3) = 11*5*3 = 165 вариантов.
3в) Каждый цветок из 11 можно взять пятью разными способами.
Всего получается 5^11 = 48 828 125 вариантов букетов.
3г) Это размещения, потому что имеет значение порядок должностей.
Вариант (Иванов Президент, Петров Вице, Сидоров казначей, Романов секретарь) и вариант (Петров Президент, Сидоров Вице, Романов казначей, Иванов секретарь) - это разные варианты, хотя и из одних и тех же 4 студентов.
A(4,20) = 20*19*18*17 = 116 280 вариантов.
4) Это очень много вариантов, я даже не знаю, как это посчитать.
1 - Первый парень забирает всё себе.
2 - Первый забирает всё себе, а 1 конфету отдает второму.
И это 3 варианта, потому что 3 разных конфеты.
3 - Первый забирает всё себе, а 1 конфету отдает третьему.
И это опять 3 варианта, потому что 3 разных конфеты.
...
k - Второй парень забирает всё себе. - вариант где-то посередине.
...
n - Третий парень забирает всё себе. - последний вариант.
5) Это опять большая и сложная задача.
6) Это снова размещения, как в 3г)
A(4,9) = 9*8*7*6 = 3024 варианта.