Question

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
x'= -4x+3y
y'= 2x-5y.
Записать систему в матричной форме и найти её частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. x(0)=5 y(0)=1.
Срочно!!! Помогите, пожалуйста!​

Answer 1

Ответ: x0=3,6*e^(-2*t)+1,4*e^(-7*t), y0=2,4*e^(-2*t)-1,4*e^(-7*t).

Пошаговое объяснение:

Решение системы в матричной форме имеет вид:

x =  α11    α12 *  C1*e^(k1*t)

y    α21   α22    C2*e^(k2*t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные; k1 и k2 - корни характеристического уравнения (ХУ); α11, α12, α21 и α22 - неизвестные пока коэффициенты.

1) Для нахождения k1 и k2 составляем ХУ:

-4-k  3   =0, или k²+9*k+14=(k+2)*(k+7)=0. Отсюда k1=-2, k2=-7.

 2  -5-k  

2) Для нахождения α11, α12, α21 и α22 составляем два матричных уравнения:

1.  -4-k1    3  *  α11 = 0, или  -2   3  * α11 =0.

     2   -5-k1    α21                 2   -3   α21

Оно приводится к виду 4*α11-6*α21=0. Так как одно из чисел α11 и α21 мы можем выбрать произвольно, то положим α21=2, и тогда α11=3.

2.  -4-k2   3  *  α12 = 0, или 3  3  * α12 =0.  

      2   -5-k2   α22               2  2    α22

Оно приводится к виду α12+α22=0. Полагая α22=-1, находим α12=1.

Запишем решение системы в матричном виде:

x = 3   1  * C1*e^(-2*t)

y    2  -1    C2*e^(-7*t)

В обычной форме решение имеет вид:

x=3*C1*e^(-2*t)+C2*e^(-7*t)

y=2*C1*e^(-2*t)-C2*e^(-7*t).

Используя условия x(0)=5 и y(0)=1, приходим к системе уравнений:

3*C1+C2=5

2*C1-C2=1

Отсюда C1=1,2 и C2=1,4. Тогда искомое частное решение имеет вид:

x0=3,6*e^(-2*t)+1,4*e^(-7*t)

y0=2,4*e^(-2*t)-1,4*e^(-7*t).