Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ 4.24
​

Answer 1

Ответ:

Это линейное ДУ.

$( {x}^{2} - 1)y' - xy = {x}^{3} - x \\ ( {x}^{2} - 1)y '- xy = x( {x}^{2} - 1) \\ | \div( {x}^{2} - 1) \\ y - \frac{xy}{ {x}^{2} - 1 } = x \\ \\ y = uv \\ y '= u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{xuv}{ {x}^{2} - 1 } = x \\ u'v + u(v' - \frac{vx}{ {x}^{2} - 1 } ) = x \\ \\ 1)v' - \frac{vx}{ {x}^{2} - 1 } = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{vx}{ {x}^{2} - 1} \\ \int\limits \frac{dv}{v} =\int\limits \frac{x}{ {x}^{2} - 1 } dx \\ ln( |v| ) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 1)}{ {x}^{2} - 1} \\ ln( |v| ) = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 1 | ) \\ v = \sqrt{ {x}^{2} - 1 } \\ \\ 2)u'v = x \\ \frac{du}{dx} \times \sqrt{ {x}^{2} - 1 } = x \\ \int\limits \: du = \int\limits \frac{x}{ \sqrt{ {x}^{2} - 1 } } dx \\ u = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 1)}{ {x}^{2} - 1} = \frac{1}{2} \times \frac{ {( {x}^{2} - 1) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = \\ = \sqrt{ {x}^{2} - 1} + c \\ \\ y = \sqrt{ {x}^{2} - 1 } ( \sqrt{ {x}^{2} - 1} + C) \\ y = C\sqrt{ {x}^{2} - 1 } + {x}^{2} - 1$

общее решение

$y( \sqrt{2} ) = 1$

$1 = C\sqrt{2 - 1} + 2 - 1 \\ C= 0$

$y = {x}^{2} - 1$

частное решение