Помогите пожалуйста
.............................................
Ответы
f(x) = x³ – 2x² + x + 3
a) Экстремумы функции
Первая производная: f'(x) = 3x² – 4x + 1
3x² – 4x + 1 = 0
D = (–4)² – 4·3 = 4 = 2²
x₁ = (4 – 2) / 6 = 1/3
f(x₁) = (1/3)³ – 2(1/3)² + (1/3) + 3 = 1/27 – 2/9 + 1/3 + 3 = 85/27 ≈ 3,15
x₂ = (4 + 2) / 6 = 1
f(x₂) = 1³ – 2·1² + 1 + 3 = 3
Экстремумы:
x₁ = 1/3, f(x₁) = 85/27 -- локальный максимум;
x₂ = 1, f(x₂) = 3 -- локальный минимум.
б) Интервалы возрастания и убывания функции
Первая производная: f'(x) = 3x² – 4x + 1 -- парабола, ветви вверх.
f(x) возрастает, когда f'(x) > 0 ⇒ x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (1; +∞).
f(x) убывает, когда f'(x) < 0 ⇒ x ∈ (1/3; 1).
в) Точки перегиба
Вторая производная: f''(x) = 6x – 4
6x – 4 = 0
6x = 4
x = 2/3
f(2/3) = (2/3)³ – 2(2/3)² + (2/3) + 3 = 8/27 – 8/9 + 2/3 + 3 = 83/27 ≈ 3,1
Точки перегиба:
x = 2/3, f(2/3) = 83/27
г) Построить график на отрезке [–1; 2]
По точкам:
f(–1) = (–1)³ – 2(–1)² + (–1) + 3 = –1
f(0) = 3
f(1/3) = 85/27 ≈ 3,15
f(2/3) = 83/27 ≈ 3,1
f(1) = 3
f(2) = 2³ – 2·2² + 2 + 3 = 5
д) Наибольшее и наименьшее значение f(x) на [0; 1,5]
Нужно сравнить значения функции на концах отрезка [0; 1,5] и в точках экстремума.
f(0) = 0³ – 2·0² + 0 + 3 = 3
f(1,5) = f(3/2) = (3/2)³ – 2·(3/2)² + (3/2) + 3 = 27/8 – 18/4 + 3/2 + 3 = 27/8 ≈ 3,4
Максимальное значение f(x): max(3; 27/8; 85/27) = 27/8.
Минимальное значение f(x): min(3; 27/8; 3) = 3.
