Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ВЫЧИСЛИТЕ ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Answer 1

Ответ:

$\int\limits^{ 2 } _ {0} \frac{xdx}{ \sqrt{9 - {x}^{2} } } = - \frac{1}{2} \int\limits^{ 2 } _ {0} \frac{( - 2x)dx}{ \sqrt{9 - {x}^{2} } } = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits^{ 2 } _ {0}\frac{d( - {x}^{2} )}{ \sqrt{9 - {x}^{2} } } = - \frac{1}{2} \int\limits^{ 2 } _ {0} {(9 - {x}^{2}) }^{ - \frac{1}{2} } d(9 - {x}^{2} ) = \\ = - \frac{1}{2} \frac{ {(9 - {x}^{2} )}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } | ^{ 2 } _ {0} = - \sqrt{9 - {x}^{2} } | ^{ 2 } _ {0} = \\ = - \sqrt{9 - 4} + \sqrt{9 - 0} = - \sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5}$

$\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } \frac{6xdx}{ \sin {}^{2} (x) }$

По частям:

$U=6 x \: \: \: \: \: \: dU = 6dx \\ dV = \frac{dx}{ \sin {}^{2} (x) } \: \: \: V = - ctgx \\ \\ = UV - \int\limits \: VdU= \\ = -6 xctgx | ^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } + \int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} }6ctgdx = \\ = - 6xctgx\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } + 6\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } dx = \\ = - 6xctgx| ^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } + 6\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } \frac{d( \sin(x) )}{ \sin(x) } = \\ = ( - 6xctgx + 6 ln( | \sin(x) | ) ) | ^{ \frac{\pi}{2} } _ { \frac{\pi}{6} } = \\ = - 3\pi \times ctg( \frac{\pi}{2} ) + 6 ln(1) + \pi \times ctg( \frac{\pi}{6} ) - 6 ln(0.5) = \\ = 0 + 0 + \pi \times \sqrt{3} - 6 ln(0.5) = \\ = \sqrt{3} \pi - 6ln(0.5)$