5. Знайдіть усі такі трицифрові числа, які в 11 разів біль-
ші за суму своїх цифр. Пожалуйста помогите
Ответы
Ответ:
198
Пошаговое объяснение:
Задание
Найдите все трехзначные числа, которые в 11 раз больше суммы их цифр.
Решение
1) Представим трёхзначное число N в виде abc, где
а - число сотен, а ≤ 9;
b - число десятков, b ≤ 9;
с - число единиц, c ≤ 9;
N = 100a + 10b + 1c - первое уравнение
(a+b+c) ≤ 27.
2) Согласно условию задачи, сумма этих цифр (a+b+c) связана с число N соотношением:
N = 11 · (a+b+c), откуда
N = 11a + 11b + 11c - второе уравнение;
следовательно, приравнивая первое уравнение и второе, получаем:
100a + 10b + 1c = 11a + 11b + 11c
100a - 11a = 11b - 10b + 11c - 1c
89a = b + 10c - третье уравнение
3) Согласно признаку делимости на 11:
на 11 делятся числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, равна нулю либо делится на 11.
Анализируя третье уравнение, можно сделать вывод о том, что к 89а можно подобрать b и c только тогда, когда а = 1,
то есть 89 · 1 = b + 10c
Составляем систему уравнений и находим b и с:
b + 10c = 89 - это первое уравнение,
b + c = 8 + 9 = 17 - второе уравнение.
Из уравнения b + c = 17 выразим b и подставим b = 17 - c в первое уравнение, получим:
17 - c + 10 с = 89,
9с = 72
с = 8,
b = 17 - 8 = 9
Искомое число N = 198 - сумма его цифр равна (1+9+8) = 18, а произведение 18 на 11 равно 198, что соответствует условию задачи.
Как показал ход решения, других чисел нет
Ответ: 198.
ПРИМЕЧАНИЕ
Как проверить, что мы не ошиблись?
Выпишем все трёхзначные числа, которые делятся на 11 (внизу это - первый столбец) .
Сложим цифры каждого числа, например, для 110: 1+1+0 = 2; это - второй столбец.
Умножим полученную сумму на 11 - запишем произведение в 3-й столбец.
Возьмём разность между 1-ым столбцом и 3-им; если получим, то такое число нам подходит, а если нет - то не подходит.
Как видим, только по одной строчке (для числа 198) эта разность равна 0 - значит, это и есть то самое единственное трёхзначное число, которое соответствует условию задачи.
Число Сумма его цифр Произведение Разность
110 2 22 88
121 4 44 77
132 6 66 66
143 8 88 55
154 10 110 44
165 12 132 33
176 14 154 22
187 16 176 11
198 18 198 0
209 11 121 88
220 4 44 176
231 6 66 165
242 8 88 154
253 10 110 143
264 12 132 132
275 14 154 121
286 16 176 110
297 18 198 99
308 11 121 187
319 13 143 176
330 6 66 264
341 8 88 253
352 10 110 242
363 12 132 231
374 14 154 220
385 16 176 209
396 18 198 198
407 11 121 286
418 13 143 275
429 15 165 264
440 8 88 352
451 10 110 341
462 12 132 330
473 14 154 319
484 16 176 308
495 18 198 297
506 11 121 385
517 13 143 374
528 15 165 363
539 17 187 352
550 10 110 440
561 12 132 429
572 14 154 418
583 16 176 407
594 18 198 396
605 11 121 484
616 13 143 473
627 15 165 462
638 17 187 451
649 19 209 440
660 12 132 528
671 14 154 517
682 16 176 506
693 18 198 495
704 11 121 583
715 13 143 572
726 15 165 561
737 17 187 550
748 19 209 539
759 21 231 528
770 14 154 616
781 16 176 605
792 18 198 594
803 11 121 682
814 13 143 671
825 15 165 660
836 17 187 649
847 19 209 638
858 21 231 627
869 23 253 616
880 16 176 704
891 18 198 693
902 11 121 781
913 13 143 770
924 15 165 759
935 17 187 748
946 19 209 737
957 21 231 726
968 23 253 715
979 25 275 704
990 18 198 792