Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной двум плоскостям 2x-y + 3z-1 = 0, x + 2y + z = 0.
Ответы
Задана прямоугольная система координат Oxyz , в ней – точка О (0, 0, 0). Заданы также уравнения двух плоскостей 2x - y + 3z – 1 =0 и x + 2y + z = 0 . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку O перпендикулярно к заданным плоскостям.
Решение
Плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой а, по которой пересекаются плоскости.
Определим координаты направляющего вектора прямой a. Он перпендикулярен как нормальному вектору →n1(2, -1, 3) плоскости 2x - y + 3z – 1 =0 , так и нормальному вектору →n2(1, 2, 1) плоскости x + 2y + z = 0
Тогда направляющим вектором →a прямой a возьмем векторное произведение векторов →n1 и →n2:
→a= →n1×→n2] = i→ j→ k| i j
2 -1 3| 2 -1
1 2 1| 1 2 =
= -1i + 3j + 4k – 2j – 6i + 1k = -7i + 1j +5k.
a→=n1→×n2→= (-7; 1; 5).
Таким образом, вектор →n=(-7, 1, 5) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a. Запишем искомое уравнение плоскости:
-7⋅(x−0) + 1⋅(y−0) + 5⋅(z-0)) = 0⇔
-7x + y + 5z = 0
Ответ: -7x + y + 5z = 0