Question

Найдите значение sin a, sin a/2, cos a/2 если известно что cos a=7/9,( альфа пренадлежит 1-четверти )

Answer 1

Ответ:

$cosa=\dfrac{7}{9}\ \ ,\\\\a\in \Big(\, 0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\ \Big)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sina>0\\\\\\sin^2a+cos^2a=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin^2a=1-cos^2a\ \ \Rightarrow \ \ sina=\pm \sqrt{1-cos^2a}\ }\\\\\\sina>0\ \ ,\ \ sina=+\sqrt{1-cos^2a}=\sqrt{1-\dfrac{49}{81}}=\dfrac{\sqrt{32}}{9}=\boxed{\dfrac{4\sqrt2}{9}}\\\\\\\boxed{\ sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1-cosa}{2}\ \ ,\ \ \ cos^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1+cosa}{2}\ }$

$sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1-\frac{7}{9}}{2}=\dfrac{2}{9\cdot 2}=\dfrac{1}{9}\ \ ,\ \ \ \ cos^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1+\frac{7}{9}}{2}=\dfrac{16}{9\cdot 2}=\dfrac{8}{9}\ \ ,$

$\dfrac{a}{2}\in \Big(\ 0\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\ \Big)\ \ \Rightarrow \ \ sin\dfrac{a}{2}>0\ \ ,\ \ cos\dfrac{a}{2}>0\ \ \Rightarrow \\\\\\sin\dfrac{a}{2}=+\sqrt{sin^2\dfrac{a}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\boxed{\ \dfrac{1}{3}\ }\ \ \ ,\ \ \ cos\dfrac{a}{2}=+\sqrt{cos^2\dfrac{a}{2}}=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\boxed{\ \dfrac{2\sqrt2}{3}\ }$