Question

Периметр правильного треугольника, описанного около окружности равен 36 см. Найдите периметр и площадь правильного шестиугольника, оптсанного около этой же окружности

Answer 1

Ответ:

$\boxed{P_{ABCDE}_{F}= 24}$ см

$\boxed{S_{ABCDE}_{F} = 24\sqrt{3}}$ см²

Примечание:

Пусть радиус окружности равен r

Объяснение:

Дано: ABCDEF - правильный шестиугольник, ΔHLT - правильный,

PΔHLT = 36

Найти: $P_{ABCDE}_{F}, S_{ABCDE}_{F} \ - \ ?$

Решение:

Так как по условию треугольник ΔHLT - правильный, то по определению правильного треугольника все его стороны равны, тогда LT = LH = TH = PΔHLT : 3 = 36 : 3 = 12 см.

По свойствам правильного треугольника (ΔHLT - правильный по условию) все его углы равны 60°.

Так как треугольник ΔHLT - правильный, то он является правильным многоугольником, тогда радиус вписанной окружности треугольника связанны с его стороной следующей формулой:

$\rm r = \dfrac{LT}{2 \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{n} \bigg)}$, в данном случае n = 3, так как мы рассматриваем треугольник.

$\rm r = \dfrac{12}{2 \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{3} \bigg)} = \dfrac{12 }{2 \cdot tg \ 60^{\circ}} = \dfrac{6}{\sqrt{3} } = \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3} }{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Так как шестиугольник ABCDEF описан около той же окружности, то (так как ABCDEF - шестиугольник, то n = 6):

$\rm r = \dfrac{AB}{2 \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{n} \bigg)} \Longrightarrow AB = 2r \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{n} \bigg) = 2 \cdot2\sqrt{3} \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{6} \bigg) =2 \cdot2\sqrt{3} \ tg \ 30^{\circ} =$

$= 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{3} = 4 \cdot \dfrac{3}{3} = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Периметр правильного n - уголника есть произведение количества его сторон на длину одной стороны, так как по определению все стороны правильного многоугольника равны, тогда:

$P_{ABCDE}_{F} = AB \cdot n = 4 \cdot 6 = 24$ см.

По формуле площади правильного многоугольника:

$\rm S_{ABCDE}_{F} = \dfrac{n \cdot AB^{2}}{4 \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{n} \bigg)} = \dfrac{6 \cdot 4^{2}}{4 \ tg \bigg ( \dfrac{180^{\circ}}{6} \bigg)} = \dfrac{6 \cdot 4}{tg \ 30^{\circ}} = \dfrac{\dfrac{24}{1} }{\dfrac{1}{\sqrt{3} } } = 24\sqrt{3}$ см².