Question

Координаты вершин треугольника ABC равны A (3;4), B(5;8), C(9; 6). Для треугольника ABC: a) определите тип треугольника ABC. B) найдите координаты точки k, Если известна медиана bk. C) найдите площадь треугольника ABC.​

Answer 1

Ответ:

a) Тип треугольника - РАВНОБЕДРЕННЫЙ

b) Координаты точки K = (6; 5)

c) Площадь треугольника Δ ABC = $10 eg.^{2}$ (квадратных единиц)

Объяснение:

a) Так как отрезки AB и BC являются диагоналями одинаковых прямоугольников со сторонами 2х4 ⇒ AB = BC. А если в треугольнике две стороны равны ⇒ треугольник является РАВНОБЕДРЕННЫМ.

b) Координаты точки K по рисунку = (6; 5).

с) Так как BK является медианой равнобедренного Δ ABC ⇒ она совпадает с его ВЫСОТОЙ. А так же её длинна = половине отрезка AC

$BK=\frac{AC}{2}=AK=KC$

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S=\frac{1}{2}ah$

a - основание треугольника (в нашем случае AC);

h - высота треугольника (в нашем случае BK).

Для того чтобы узнать длину основания треугольника AC - построим ещё один прямоугольный треугольник Δ ACZ, у которого AZ и ZC - катеты, а AC - гипотенуза.

По теореме Пифагора:  $AC^{2} = AZ^{2}+ZC^{2}$

На рисунке длина AZ = 6 ед.; длина ZC = 2 ед.

Подставляем эти значения в формулу, и вычисляем длину AC:

$AC^{2} = 6^{2}+2^{2}\\\\AC^{2} = 36+4\\\\AC^{2} = 40\\\\AC = \sqrt{40}$

⇒  $BK=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{40}}{2}$

Зная длину основания и высоты треугольника - вычисляем его площадь:

$S=\frac{1}{2}ah\\\\ S=\frac{1}{2}*AC*BK\\\\ S=\frac{1}{2}*\sqrt{40}*\frac{\sqrt{40}}{2}}\\\\ S=\frac{1*\sqrt{40}*\sqrt{40}}{2*2}\\\\ S=\frac{(\sqrt{40})^{2}}{4}\\\\ S=\frac{40}{4}\\\\ S=10 eg.^{2}$