Question

на рисунку зображено ромб abcd діагоналі якого перетинаються в точці о із цієї точки до сторони ad проведено перпендикуляр OK довжиною 3см площа трикутника AOD дорівнюе 15см2 визначте довжину ромба ABCD та обчисліть тангенс гостррого кута ромба ABCD

Answer 1

Ответ:

$\boxed{P_{ABCD} = 40}$ см

$\boxed{\rm tg \ \angle BAD = \dfrac{3}{4} }$

Объяснение:

Дано: ABCD - ромб, AC ∩ BD = O, OK ⊥ AD, OK = 3 см, $S_{зAOD} = 15$ см²

Знайти: $P_{ABCD}, \rm tg \ \angle BAD$ - ?

Розв'язання:

За формулою площі для трикутника ΔAOD:

$S_{зAOD} = \dfrac{OK \cdot AD}{2} \Longrightarrow AD = \dfrac{2S_{зAOD}}{OK} = \dfrac{2 \cdot 15}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$ см.

За означенням ромба усі його сторони рівні, тоді так як AD = 10 см, то

AD = AB = BC = CD = 10 см. За означенням периметра ромба:

$P_{ABCD} = AD + AB + BC + CD = 10 + 10 + 10 + 10 = 40$ см.

За властивістю ромба його діагоналі ділять ромба на чотири рівні за площею трикутнику, отже $S_{ABCD} = 4S_{зAOD} = 4 \cdot 15 = 60$ см².

За формулою площі ромба: $S_{ABCD} = AD^{2} \cdot \sin \angle BAD \Longrightarrow\sin \angle BAD = \dfrac{S_{ABCD}}{AD^{2}} = \dfrac{60}{10^{2}} = \dfrac{60}{100} = 0,6$.

Так як кут ∠BAD - гострий, то усі тригонометричні функції від цього кута більше нуля.

За основною тригонометричною тотожністю:

$\sin^{2} \angle BAD + \cos^{2} \angle BAD = 1 \Longrightarrow \cos \angle BAD = \sqrt{1 - \sin^{2} \angle BAD} =$

$= \sqrt{1 - 0,6^{2}} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

За означенням тангенса:

$\rm tg \ \angle BAD = \dfrac{\sin \angle BAD}{\cos \angle BAD} = \dfrac{0,6}{0,8} = \dfrac{0,6 \cdot 10}{0,8 \cdot 10} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \dfrac{3}{4}$.