Question

Дослідити на екстремум функцію z=x^2+y^2+xy-2x-y

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z=x²+y²+xy-2x-y

находим частные производные

$\displaystyle z'_x=2x+y-2\\z'_y=x+2y-1$

теперь надо решить систему

$\displaystyle \left \{ {{2x+y-2=0} \atop {x+2y-1=0}} \right.$

умножим второе на -2 и сложим первое со вторым, получим  

-3y = 0  ⇒  у = 0

подставим это, например во второе, получим

х +0 -1 = 0  ⇒ х = 1

у нас есть одна критическая точка М(1; 0)

вычислим значение функции в этой точке

z₍₁,₀₎ = 1²+0²+1*0-2*1-0 = -1

теперь посмотрим, минимум это или максимум

$\displaystyle A= z''_xx= 2 \qquad B=z''_{xy} = 1 \qquad C= z'_{yy}=2$

в точке М(1;0) значения вторых частных производных будут такие же

теперь вывод

AC - B² = 3 > 0 и A > 0 , тогда  в точке M(1;0) функция достигает  минимума

$\displaystyle z_{(1;0)} = -1$