Question

Решить рациональные неравенства

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

а) (х + 7)/(х - 2) >= 0

Решить методом интервалов:

1) Приравнять к нулю и решить уравнение:

(х + 7)/(х - 2) = 0

Умножить обе части уравнения на (х - 2):

х + 7 = 0

х₁ = -7 (кружок закрашенный, нестрогое неравенство);

Знаменатель приравнять к нулю:

х - 2 = 0

х₂ = 2 (кружок будет "выколотым", не закрашенным);

2) На числовой прямой отметить значения -7 и 2;

Определить знак самого правого интервала:

подставить в уравнение х = 3 (любое больше 2):

(3 + 7)/(3 - 2) = 10/1 = 10 >=0, знак плюс.

___________________________________

      +     -7         -          2      +

Так как неравенство >= 0, интервалы со знаком + будут решениями данного неравенства:

х∈(-∞; -7] ∪ (2; +∞).

б) (2х² - 11х + 5)/(1 - х²) > 0

Решить методом интервалов:

1) Приравнять к нулю и решить уравнение:

(2х² - 11х + 5)/(1 - х²) = 0

Умножить обе части уравнения на (1 - х²):

2х² - 11х + 5 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac =121 - 40 = 81         √D=9

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(11-9)/4

х₁=2/4

х₁=0,5;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(11+9)/4

х₂=20/4

х₂=5;

Знаменатель приравнять к нулю:

1 - х² = 0

(1 - х)(1 + х) = 0

1 - х = 0

-х = -1

х₃ = 1;

1 + х = 0

х₄ = -1.

Отметить все корни на числовой прямой:

_____________________________________________

   -      -1      +         0,5      -       1       +        5            -

Определить знак самого правого интервала:

подставить в уравнение х = 6 (любое больше 5):

(2*6² - 11*6 + 5)/(1 - 6²) = 1/-35 < 0, значит, минус.

Так как неравенство > 0, решениями будут интервалы со знаком +:

х∈(-1; 0,5) ∪ (1; 5).