Question

Проинтегрировать уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

Answer 1

Ответ:

$xy' + y = \frac{1}{ {x}^{2} } ln(x) \\ | \div x \\ y'+ \frac{y}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} } ln(x)$

Это линейное ДУ

$y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + \frac{uv}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} } ln( x) \\ u'v + u(v' + \frac{v}{x} ) = \frac{ ln(x) }{ {x}^{3} } \\ \\ 1) v'+ \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{x} = - \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - ln(x) \\ v = \frac{1}{x} \\ \\ 2)u'v = \frac{ ln(x) }{ {x}^{3} } \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{x} = \frac{ ln(x) }{ {x}^{3} } \\ \int\limits \: du = \int\limits\frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx$

По частям:

$U= ln(x) \: \: \: \: \: \: \: \: dU = \frac{1}{x} dx \\ dV= \frac{dx}{ {x}^{2} } \: \: \: V = - \frac{1}{x} \\ \\ - \frac{1}{x} ln(x) + \int\limits \frac{1}{x} \times \frac{dx}{x} = \\ = - \frac{ ln(x) }{x} - \frac{1}{x} + C = - \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C$

Получаем:

$u = - \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C\\ \\ y = uv = \frac{1}{x} ( - \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C) = \\ = - \frac{ ln(x) + 1}{ {x}^{2} } + \frac{C}{x}$

общее решение