Question

весь мозг сломан....

найти остаток от деления на число 3

числа    [ (2 в степени 1947) - 23]

 

Answer 1

$\<var>2^{1947}=(3-1)^{1947}</var>$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$\<var>(a+b)^n=sum_{k=0}^nleft(begin{matrix}n\kend{matrix}right)a^{n-k}b^k\left(begin{matrix}n\kend{matrix}right)=frac{n!}{k!(n-k)!}</var>$

В нашем случае $b^k=1$ и знаки слагаемых чередуются (т.к. b= -1).

То есть:

$\<var>(3-1)^{1947}=3^{1947}-1947cdot3^{1946}+ldots+1947cdot3-1</var>$

Все слагаемые, кроме последнего, делятся на 3. Следовательно, и всё число не делится на 3, остаток от деления равен 2. 23 также при делении на 3 даёт остаток 2. Значит, их разность делится на 3 без остатка.

Число $2^{1947}=(3-1)^{1947}$ при делении на 3 даёт остаток 0.