Капитан купил у аборигенов песочные часы, которые отсчитывают ровно одну минуту. Долгими вечерами во время плавания капитан коротал время, переворачивая эти часы и наблюдая за падающими песчинками.
Он заметил, что, какой промежуток времени ни выбери, за предыдущий такой же промежуток на дно падает на столько же больше песка, на сколько меньше песка падает на дно за следующий.
Например, если за некоторый десяток секунд на дно падает на унцию песка меньше, чем за предыдущий десяток, то за следующий десяток секунд на дно упадёт ещё на унцию песка меньше.
Следующий промежуток — такой, начало которого совпадает с концом текущего.
Известно, что за первые 10 секунд на дно упал 21 грамм песка. А с 21 по 30 секунду включительно — 14 грамм песка.
Сколько грамм песка в песочных часах?
Ответы
Скорость песка все время меняется на одну и ту же величину.
В последнюю, 60-ую секунду падает х г, а в 59-ую секунду - х+y г,
в 58-ую - х+2y г, и т.д. до 1-ой секунды, когда падает х+59y г.
За первые 24 секунды упало:
24x + 59y + 58y + ... + 36y = 21 г
А за первые 36 секунд упало:
36x + 59y + 58y + ... + 24y = 30 г
Составим уравнения по арифметической прогрессии:
{ S(24) = 24x + (36y + 59y)×24/2 = 24x + 95y×12 = 24x + 1140y = 21
{ S(36) = 36x + (24y + 59y)×36/2 = 36x + 83y×18 = 36x + 1494y = 30
Делим 2 уравнение на 3
{ 24x + 1140y = 21
{ 12x + 498y = 10
Умножаем 2 уравнение на -2
{ 24x + 1140y = 21
{ -24x - 996y = -20
И складываем уравнения
24x + 1140y - 24x - 996y = 21 - 20
144y = 1
y = 1/144 г = 2/288
Подставляем в любое уравнение
24x + 1140×1/144 = 21
24x = 21 - 1140/144 = 21 - 95/12 = (21×12 - 95)/12 = (252-95)/12 = 157/12
x = 157/(12*24) = 157/288 г
А всего за 60 секунд падало:
60x + (0+59y)×60/2 = 60×157/288 + 59×2/288×30 =
= (60*57 + 59×2×30)/288 = 12960/288 = 45 г
Ответ: 45 г