Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка (1+y)y''-5(y')^2=0

Answer 1

Ответ:

$( 1 + y)y'' - 5(y') ^{2} = 0 \\ \\ y' = z(y) \\ y''= z'(y) \times y' = z'z \\ \\ (1 + y) \times zz' - 5 {z}^{2} = 0 \\ (1 + y)z'- 5z = 0 \\ (1 + y) \times \frac{dz}{dy} = 5z \\ \int\limits \frac{dz}{z} = 5\int\limits \frac{dy}{y + 1} \\ ln(z) = 5 ln(y + 1) + ln(C_1) \\ z = C_1 {(y + 1)}^{5} \\ \\ y'= C_1(y + 1) {}^{5} \\ \frac{dy}{dx} = \int\limits \: C_1(y + 1) {}^{5} \\ \int\limits \frac{dy}{(y + 1) {}^{5} } = C_1\int\limits \: dx \\ \frac{ {(y + 1)}^{ - 4} }{ - 4} = C_1x + C_2 \\ - \frac{1}{4(y + 1) {}^{4} } = C_1x + C_2 \\ \frac{1}{ {(y + 1)}^{4} } = - 4C_1x -4 C_2 \\ \frac{1}{(y + 1) {}^{4} } = - C_1x - C_2$

общее решение