Question

Пожаалуйста!!!!!!!
В равнобедренной трапеции высота равна меньшему основанию, а углы при большем основании равны по 45°. Определите высоту трапеции, если её площадь равна 50 см2.

Answer 1

Ответ:

BK = 5 см

Объяснение:

Дано: ABCD - трапеция, AB = CD, ∠BAD = ∠CDA = 45°, BK = BC, BK ⊥ AD, $S_{ABCD} = 50$ см²

Найти: BK - ?

Решение:

Из точки C проведем высоту к стороне AD в точку H, то есть

CH ⊥ AD.

Треугольник ΔCHD и ΔBAK - прямоугольные, так как по условию

BK ⊥ AD и по построению CH ⊥ AD.

Треугольник ΔCHD = ΔBAK (прямоугольные треугольники) по катету и острому углу так как BK = CH, как высоты, по свойствам трапеции, а угол ∠BAD = ∠CDA = 45° по условию.

Так как треугольник ΔCHD = ΔBAK, то по определению равных треугольников их соответствующие элементы равны, тогда AK = HD.

Четырехугольник BCHK - параллелограмм по теореме-признаку, так как BK = CH как высоты трапеции и BK ⊥ AD, CH ⊥ AD следовательно по теореме BK║CH.

Так как BCHK - параллелограмм, то по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, то есть BC = KH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBAK.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\rm tg \ \angle BAK = \dfrac{BK}{AK} \Longrightarrow BK = AK \cdot tg \ \angle BAK = AK \cdot tg \ 45^{\circ} = AK \cdot 1 = AK$.

Пусть BK = x.

Так как BK = x, и BK = AK = BC = KH = HD = x.

По основному свойству отрезка:

AD = AK + KH + HD = x + x + x = 3x.

По формуле площади трапеции:

$S_{ABCD} = \dfrac{BK(AD + BC)}{2} = \dfrac{x \cdot (3x + x)}{2} = \dfrac{x \cdot 4x}{2} = 2x \cdot x = 2x^{2}$

$2x^{2} = 50|:2$

$x^{2} = 25$

$|x| = 5$

$x = 5$ см, то есть BK = 5 см.

(x > 0, так как x - высота трапеции)