Question

Какова формула Маклорена для ln(ch(x))?
Ln - логарифм
Ch(x) - гиперболический косинус

Answer 1

Ответ:

$ln(ch(x))=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^6}{45}+..., |x|<\dfrac{\pi}{2}$

Пошаговое объяснение:

Пусть искомое разложение в некоторой окрестности нуля найдено:

$ln(ch(x))=\left[ln(ch(0))=0\right]=\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2n-1}x^{2n-1}+\sum\limits_{n=1}^\infty b_{2n}x^{2n}$

В области сходимости ряд можно почленно дифференцировать. Тогда, т.к.

$(ln(ch(x))'=\dfrac{1}{ch(x)}\cdot sh(x)=th(x)$,

и при этом известно разложение

$th(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!}x^{2n-1},\;|x|<\dfrac{\pi}{2}$,

получаем

$\sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)\cdot a_{2n-1}x^{2n-2}+\sum\limits_{n=1}^\infty 2n\cdot b_{2n}x^{2n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!}x^{2n-1}$

Значит,

$a_{2n-1}=0, n\in N; b_{2n}=\dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n},n\in N$

Отсюда

$ln(ch(x))=\sum\limits_{n=1}^\infty 0\cdot x^{2n-1}+\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}$

Найдем интервал сходимости.

$\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{B_{2n+2}4^{n+1}(4^{n+1}-1)}{(2n+2)!\cdot (2n+2)} x^{2n+2}}{\frac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}}\right|=(*)$

Для вычисления используем

$B_{2n}\underset{n\to\infty}{\sim}\dfrac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}}$

Тогда

$(*)=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{(2n+2)!}{(2\pi)^{2n+2}}\frac{4^{n+1}(4^{n+1}-1)}{(2n+2)!\cdot (2n+2)} x^{2n+2}}{\frac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{4^n(4^n-1)}{(2n)!\cdot 2n} x^{2n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{1}{(2\pi)^{2}}\frac{4(4^{n+1}-1)}{(2n+2)} x^{2}}{\frac{(4^n-1)}{2n} }\right|=$

$=\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{\frac{1}{\pi^{2}}\frac{(4^{n+1}-1)}{(n+1)} x^{2}}{\frac{(4^n-1)}{n} }\right|=\dfrac{x^2}{\pi^2}\lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{(4^{n+1}-1)}{(4^n-1)}\cdot \dfrac{n}{n+1}\right|=\dfrac{x^2}{\pi^2}\cdot 4=\left(x\cdot \dfrac{2}{\pi}\right)^2$

Значит, разложение верно для

$\left(x\cdot \dfrac{2}{\pi}\right)^2<1\Leftrightarrow |x|<\dfrac{\pi}{2}$

________________________

$B_{2n}$ - числа Бернулли