Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения x^3y'''+x^2y''=1 . желательно подробно​

Answer 1

Ответ:

ДУ с понижением порядка

Замена:

$y'' = z(x) \\ y''' = z'(x)$

${x}^{3} z'+ {x}^{2} z = 1 \\ | \div {x}^{3} \\ z'+ \frac{z}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} }$

это линейное ДУ

Замена:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u$

$u'v + v'u + \frac{uv}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} } \\ u'v + u(v' + \frac{v}{x} )= \frac{1}{ {x}^{3} } \\ \\ 1)v' + \frac{v}{x} \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dx}{v} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - ln(x) \\ v = \frac{1}{x} \\ \\ 2)u'v = \frac{1}{ {x}^{3} } \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} } \\ \int\limits \: du = \int\limits \frac{1}{ {x}^{2} } dx \\ u = - \frac{1}{x} + C_1 \\ \\ z = \frac{1}{x} ( - \frac{1}{x} + C_1) \\ z = - \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{C_1}{x} \\ \\ y'' = - \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{C_1}{x} \\ y'= \int\limits( - \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{C_1}{x} )dx = \frac{1}{x} + C_1 ln( |x| ) + C_2 \\ y = \int\limits( \frac{1}{x} + C_1 ln(x) + C_2)dx = \\ = ln( |x| ) + C_1\int\limits ln(x) dx + C_2x + C_3 \\ \\ \\ \int\limits ln(x) dx$

По частям:

$U = ln(x) \: \: \: dU = \frac{dx}{x} \\ dV = dx \: \: \: \: V = x \\ \\ x ln(x) - \int\limits \frac{dx}{x} \times x = x ln(x) - x + C = \\ = x( ln(x) - 1) + C$

Получаем:

$y = ln( |x| ) + C_1x( ln( |x| ) - 1) + C_2x + C_3$

общее решение