Question

вычислите сумму:
$S=cos\alpha +cos2\alpha +...cosn\alpha$

Answer 1

Обозначим сумму косинусов Co(n) сумму синусов того же аргумента

вместо альфа пишу а.   Si(n)  cos(a)=c sin(a)=s

cos(an+a)=cos(an)*c-sin(an)*s

sin(an+a)=sin(an)*c+cos(an)*s

Co(n+1)=Co(n)*c-Si(n)*s

Si(n+1)=Si(n)*c+Co(n)*s

Co(n)+cos(a*(n+1))=Co(n)*c-Si(n)*s

Si(n)+sin(a*(n+1))=Si(n)*c+Co(n)*s

Co(n)(c-1)-Si(n)*s=cos(a*(n+1))

Co(n)*s+Si*(c-1)=sin(a*(n+1))

-------

Co(n)*(c-1)^2-Si(n)*s*(c-1)=cos(a*(n+1))*(c-1)

Co(n)*s^2+Si*(c-1)*s=sin(a*(n+1))*s

Co(n)*((c-1)^2+s^2))=cos(a*(n+1))*(c-1)+sin(a*(n+1))*s

Co(n)=(cos(a*(n+1))*(c-1)+sin(a*(n+1)))/((c-1)^2+s^2))

S=(cos(a*(n+1))*(c-1)+sin(a*(n+1)))/((c-1)^2+s^2))

S=(cos(a*(n+1)*cos(a)+sin(a*(n+1)*sin(a) -cos(a*(n+1)))/(1-2cos(a))