Question

Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений

Answer 1

Ответ:

$\left \{ {{x'= x - 2y} \atop {y' = x - y} } \right. \\ \\ \left \{ {{x'= x - 2y \: \: \: (3)} \atop {x = y'+ y \: \: \: (1)} } \right. \\ x' = y'' + y' \: \: \: (2)$

(1) и (2) в (3)

$y'' + y'= y' + y- 2y \\ y'' + y = 0 \\ \\ y = {e}^{kt} \\ \\ k {}^{2} + 1 = 0 \\ k = \pm \: i \\ \\ y = C_1 \sin(t) + C_2 \cos(t)$

$\left \{ {{x = y'+ y \: \: \: (6)} \atop {y = C_1 \sin(t) + C_2 \cos(t) \: \: \: (4)} } \right. \\ \\ y' = C_1 \cos(t) - C_2 \sin(y) \: \: \: (5)$

(4) и (5) в (6)

$x = C_1 \cos(t) - C_2 \sin(t) + C_1 \sin(t) + C_2 \cos(t) \\ x = (C_1 + C_2) \cos(t) + (C_1 - C_2) \sin(t)$

Ответ:

$\left \{ {{x = (C_1 + C_2) \cos(t) + (C_1 - C_2) \sin(t) } \atop {y = C_1 \sin(t) + C_2 \cos(t) } } \right.$

общее решение

При

$x(0) = 1 \\ y(0) = 1$

$1 = C_1 + C_2 \\ 1 = C_2 \\ \\ C_2 = 1 \\ C_1 = 1 - C_2 = 0$

$\left \{ {{x = \cos(t) - \sin(t) } \atop {y = \cos(t) } } \right.$

частное решение