Question

1. Обчислити визначенні інтеграли та обчислити площу фігури, обмежену лініями.

Answer 1

1.

$\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ {0} \sqrt[3]{ \cos(x) } \sin(x)dx = -\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ {0} {( \cos(x)) }^{ \frac{1}{3} } ( - \sin(x)) dx = \\ = -\int\limits^{ \frac{\pi}{2} } _ {0} {( \cos(x)) }^{ \frac{1}{3} } d( \cos(x)) = - \frac{ {( \cos(x)) }^{ \frac{4}{3} } }{ \frac{4}{3} } |^{ \frac{\pi}{2} } _ {0} = - \frac{3}{4} \sqrt[3]{ \cos {}^{4} (x) } |^{ \frac{\pi}{2} } _ {0} = \\ = - \frac{3}{4} (0 - 1) = 0.75$

2.

$\int\limits^{ 8 } _ {5} \frac{dx}{ {x}^{2} + 4x - 21} = \int\limits^{ 8 } _ {5} \frac{dx}{ {x}^{2} + 4x + 4 - 25 } = \\ = \int\limits^{ 8} _ {5} \frac{dx}{ {(x + 2)}^{2} - {5}^{2} } = \int\limits^{ 8 } _ {5} \frac{d(x + 2)}{ {(x + 2)}^{2} - {5}^{2} } = \\ = \frac{1}{2 \times 5} ln( | \frac{x + 2 - 5}{x + 2 + 5} | ) |^{ 8 } _ {5} = \frac{1}{10} ln( | \frac{x - 3}{x + 7} | ) |^{ 8} _ {5} = \\ = \frac{1}{10} ( ln( \frac{5}{15} ) - ln( \frac{2}{12} ) ) = \frac{1}{10} ln( \frac{1}{3} \times 6 ) = \frac{1}{10} ln(2)$

3.

$y = 3 {x}^{2} - 1$

$y = 3x + 5$

Найдем пределы (точки пересечения функций)

$3 {x}^{2} - 1 = 3x + 5 \\ 3 {x}^{2} - 3x - 6 = 0 \\ {x}^{2} - x - 2 = 0 \\ D= 1 + 8 = 9 \\ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ x_2 = - 1$

рисунок

$S = S_1 - S_2 = \int\limits^{ 2 } _ { - 1}(3x + 5)dx - \int\limits^{ 2 } _ { - 1}(3 {x}^{2} - 1)dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ { - 1}( 3x + 5 - 3 {x}^{2} + 1)dx = \int\limits^{ 2 } _ { - 1}( - 3 {x}^{2} + 3x + 6)dx = \\ = ( - \frac{3 {x}^{3} }{3} + \frac{3 {x}^{2} }{2} + 6x) |^{ 2 } _ { - 1}= ( - {x}^{3} + \frac{3 {x}^{2} }{2} + 6x)|^{ 2 } _ { - 1} = \\ = - 8 + 6 + 12 - (1 + 1.5 - 6) = \\ = 10 - 2.5 + 6 = 10 + 3.5 = 13.5$

18.8

$y = {e}^{1 - 2x} tg {}^{2} (3x)$

$y '= ( {e}^{1 - 2x}) '\times tg {}^{2} (3x) + {e}^{1 - 2x} (tg {}^{2} (3x))' = \\ = - 2 {e}^{1 - 2x} {tg}^{2} (3x) + {e}^{1 - 2x} \times 2tg(3x) \times \frac{1}{ \cos {}^{2} (3x) } \times 3 = \\ = {e}^{1 - 2x} ( \frac{6tg(3x)}{ \cos {}^{2} (3x) } - 2 {tg}^{2} (3x))$

а)

$\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } {arcsin}^{4} x} = \int\limits \frac{d(arcsinx)}{arcsin {}^{4} x} = \\ = \frac{ {(arcsinx)}^{ - 3} }{( - 3)} + C= - \frac{1}{3 arcsin {}^{3} x} + C$