Question

З усіх прямокутних трикутників, у яких сума одного катета і гіпотенузи дорівнює а, знайти катети і гіпотенузу такого трикутника з найбільшою площею.
СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА!!

Answer 1

Если катет х, (х>0), то гипотенуза (а-х), тогда другой катет равен

√((а-х)²-х²)=√(а²-2ах+х²-х²)=√(а²-2ах)

площадь

равна S=х*√(а²-2ах)/2, найдем производную

s'=0.5(√(а²-2ах)+х*0.5(-2а/√(а²-2ах))=0.5(а²-2ах-ах)/√(а²-2ах))=

0.5(а²-2ах-ах)/√(а²-2ах))=0.5(а²-3ах)/√(а²-2ах));

Найдем критические точки.

приравняв нулю производную. 0.5(а²-3ах)/√(а²-2ах))=0, когда

а²-2ах≠0; х≠а/2;

а≠0⇒х=а/3

значит, катет равен а/3, тогда гипотенуза а-а/3=2а/3, а второй катет √(а²-2ах)=√(а²-2а²/3)=а/√3=а√3/3

положительное по условию.

___0___а/3___а/2____

          +             -         +

Значит, наибольшего значения, площадь достигает при х=  а/3

т.е. когда один катет равен а/3, другой  катет а√3/3, гипотенуза 2а/3.