Question

корень из -21+10i
$\sqrt{ - 21 + 10i}$
​

Answer 1

Решение:

Корень комплексного числа можно найти по формуле:

$\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{|Z|}(cos\frac{\alpha +2\pi k}{n} + isin\frac{\alpha +2\pi k}{n} )$, где a - аргумент комплексного числа, |Z| - модуль комплексного числа, k = 0, 1... n - 1

$Z = a + bi$ - алгебраическая форма записи комплексного числа

$Z = -21 + 10i\\\\Im(Z) = 10i\\Re(Z) = -21$

Воспользуемся формулами:

$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}\\\\\alpha = arctg(\frac{b}{a} )$

Имеем:

$|Z| = \sqrt{(-21)^2 + 10^2} = \sqrt{541}\\\\\alpha = arctg(-\frac{10}{21} )$

$\sqrt{-21+10i} = \sqrt{\sqrt{541} } (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi k }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi k}{2})$

k = 0... 2 - 1 = 0, 1

Получается у нас будет два решения:

$Z_1 = \sqrt{-21+10i} = \sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi 0 }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi 0}{2}) =$

$= \sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21}) }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})}2)$

$Z_2 = \sqrt{-21+10i} = \sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi1 }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi1}{2}) =$

$=\sqrt[4]{541} (cos\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi }{2} + isin\frac{arctg(-\frac{10}{21})+2\pi}{2})$