Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y"=py'+qy=F(x)
y"-6y'+9y=X^2+3

Answer 1

Ответ:

1. Решаем ОЛДУ:

$y ''- 6y '+ 9y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 6 k + 9) = 0\\ (k - 3) { }^{2} = 0\\ k_1 = k_2 = 3 \\ y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{3x} x$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A {x}^{2} + Bx + C\\ y '= 2Ax + B \\ y ''= 2A$

$2A - 12Ax - 12B + 9A {x}^{2} + 9Bx + 9C = {x}^{2} + 3 \\ \\ 9A= 1 \\ - 12A + 9B = 0 \\ 2A - 12B+ 9C = 3 \\ \\ A= \frac{1}{9} \\ B = \frac{12}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{4}{27} \\ C= 3 - \frac{2}{9} + \frac{48}{27} = \frac{11}{27}$

$y = \frac{ {x}^{2} }{9} + \frac{4x}{27} + \frac{11}{27}$

Общее решение:

$y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{3x} x + \frac{ {x}^{2} }{9} + \frac{4x}{27} + \frac{11}{27}$