Question

Найдите $sin \frac{a}{2} ; tg \frac{a}{2}$
если $sin a= -\frac{1}{2}$
3П/2 < a< 2П

Answer 1

Ответ:

угол в принадлежит 4 четверти

угол а/2 принадлежит 3 четверти

$\sin( \alpha ) = - \frac{1}{2}$

$\cos( \alpha ) > 0 \\ \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \sqrt{1 - \frac{1}{4} } = \\ = \sqrt{ \frac{3}{4} } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\sin( \frac{ \alpha }{2} ) < 0 \\ \cos( \frac{ \alpha }{2} ) < 0$

$1 + \cos( \alpha ) = 2 \cos {}^{2} ( \frac{ \alpha }{2} ) \\ \cos( \frac{ \alpha }{2} ) = \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos( \alpha ) }{2} } \\ \cos( \frac{ \alpha }{2} ) = - \sqrt{ \frac{1 + \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} } = - \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{3} }{4} } = \\ = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{3} } }{2} \\ \\ \sin( \frac{ \alpha }{2} ) = - \sqrt{1 - \frac{2 + \sqrt{3} }{4} } = - \sqrt{ \frac{4 - 2 - \sqrt{3} }{4} } = \\ = - \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}$

$tg( \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{ \sin( \frac{ \alpha }{2} ) }{ \cos( \frac{ \alpha }{2} ) } = - \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{3} } }{2} \times ( - \frac{2}{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } } ) = \\ = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{3} } }{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } } \times \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } } = \frac{ \sqrt{4 - 3} }{2 - \sqrt{3} } = \\ = \frac{1}{2 - \sqrt{3} } \times \frac{2 + \sqrt{3} }{2 + \sqrt{3} } = \frac{2 + \sqrt{3} }{4 - 1} = \frac{2 + \sqrt{3} }{3}$