Question

Образующая конуса равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{S_{b} = \dfrac{400\sqrt{3} }{3}}$ см²

Объяснение:

Дано: KABCD - правильная описанная около конуса четырехугольная пирамида, KT = 6, ∠(KT,ABC) = 30°, O - центр основания конуса

Найти: $S_{b} \ - \ ?$

Решение:

По определению пирамиду называют описанной около конуса, если её основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса, а конус при этом называют вписанным в пирамиду.

По определению правильной пирамиды, в её основании лежит правильный четырехугольник, а так как по условию пирамида KABCD - четырехугольная, то ABCD - квадрат.

Проведем высоту пирамиды из точки K в точку O. По следствию из определения описанной пирамиды около конуса эта высота совпадает с высотой конуса, то есть OK - высота пирамиды и конуса.

По свойствам конуса вписанного в пирамиду точка пересечения образующей конуса и ребра основания пирамиды является точкой касания основания конуса к пирамиде, то есть отрезок OT - радиус окружности вписанной в квадрат ABCD.

По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как OK ⊥ ABC по построению и OT ⊂ ABC по построению, то

OK ⊥ TO, следовательно треугольник ΔKOT - прямоугольный.

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, тогда из прямоугольного треугольника ΔKOT, следует, что OT - проекция KT на плоскость ABC, тогда угол ∠(KT,ABC) = ∠KTO = 30°.

По свойствам вписанного конуса его образующая является высотой грани пирамиды, тогда KT ⊥ BC.

Так как KT ⊥ BC, OT ⊥ BC (как радиус к касательной), то угол ∠KTO - линейный угол двугранного угла между плоскостями KBC и ABC.

По свойствам правильной пирамиды все её двугранные углы равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKOT.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos \angle KTO = \dfrac{OT}{KT} \Longrightarrow OT = KT \cdot \cos \angle KTO = 6 \cdot \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Так как OT радиус вписанной окружности в квадрат ABCD, то по свойствам квадрата AB = 2OT = $2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

По формуле площади квадрата:

$S_{ABCD} = AB^{2} = (6\sqrt{3})^{2} = 108$ см².

По теореме если все двугранные углы выпуклой пирамиды при ребрах основания равны (двугранные углы равны 30°, так как

∠KTO = 30°), то площадь боковой поверхности пирамиды можно вычислить по формуле:

$S_{b} = \dfrac{S_{ABCD}}{\cos \angle KTO} = \dfrac{200}{\cos 30^{\circ}} = \dfrac{200}{0,5\sqrt{3} } = \dfrac{400 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{400\sqrt{3} }{3}$ см².