Question

Помогите
Найти первообразную, график которой проходит через точку М
y=2 корня из 2 sin2x
M(пи/6;2)

Answer 1

Решение:

$y = 2\sqrt{2} *sin(2x)\\\\\int\limits {2\sqrt{2} *sin(2x)} \, dx \\\\2\sqrt{2}\int\limits {sin(2x)dx}$

Пусть 2x = v, тогда dv = 2dx, отсюда  1/2dv = dx. Перепишем, используя v и dv:

$2\sqrt{2}\int\limits {sin(v)\frac{1}{2} dv}\\\\2\sqrt{2} *\frac{1}{2} \int\limits {sin(v)} dv}\\\\\sqrt{2} *(-cos(v))$

Вернёмся к замене:

$\sqrt{2} (-cos(2x)) = -\sqrt{2} cos(2x)$

И добавим константу интегрирования:

$-\sqrt{2} cos(2x) + C$

Получили первообразную:

$F(x) = -\sqrt{2} cos(2x) + C$

$M(\frac{\pi }{6} ; 2)$, имеем:

$2 = -\sqrt{2} *cos(2\frac{\pi }{6} ) + C\\\\2 = -\sqrt{2} * cos (\frac{\pi}{3}) + C\\\\2 = -\frac{\sqrt{2} }{2} + C\\\\C = \frac{4+\sqrt{2} }{2}$

Ответ:

Первообразная имеет вид:

$F(x) = -\sqrt{2}cos(2x) + \frac{4+\sqrt{2} }{2}$