Question

В равнобедренном треугольнике АВС на основании АВ взята точка D, равноудаленная от боковых сторон треугольника. Доказать, что СD - высота треугольника АВС.

Answer 1

Ответ:

Точка М равноудалена от АС и ВС, т.е. находится на равном от этих сторон расстоянии.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной орезка, проведенного перпендикулярно.  

  МК⊥АС, МН⊥ВС и  КМ=МН

В прямоугольных  ∆ АКМ и ∆ ВНМ равны острые углы А = В  ( углы при основании равнобедренного треугольника), значит, равна и другая пара острых углов: ∠КМА=∠НМВ.  

Катет КМ=катету МН ( по условию)  

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.=>  

∆ АКМ =∆ ВНМ , следовательно, АМ=ВМ.  

∆ АМС = ∆ ВМС   по двум сторонам  и углу между ними. =>

∠СМА=∠СМВ, они смежные и равны 180°:2=90° .⇒

СМ - проведена из вершины угла треугольника к противоположной стороне, перпендикулярна ей, следовательно, СМ - высота треугольника АВС

Объяснение: