Question

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию: y = y0 при x = x0.
y'-(2y/x)= - x^2

y0=1

x0=3

Answer 1

Ответ:

$y' - \frac{2y}{x} = - {x}^{2}$

Это ЛДУ

Замена:

$y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{2 uv }{x} = - {x}^{2} \\ u'v + u(v' - \frac{2v}{x} ) = - {x}^{2} \\ \\ 1)v '- \frac{2v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{2v}{x} \\ \int\limits\frac{dv}{v} = 2\int\limits \frac{dx}{x} \\ ln( |v| ) = 2 ln( |x| ) \\ v = {x}^{2} \\ 2) u'v = - {x}^{2} \\ \frac{du}{dx} \times {x}^{2} = - {x}^{2} \\ \int\limits \: du = - \int\limits \: dx \\ u = x + C \\ \\ y = {x}^{2} (C - x) \\ y = C {x}^{2} - {x}^{3}$

общее решение

$y(3) = 1$

$1 = 9C - 27 \\ C = \frac{28}{9}$

$y = \frac{28 {x}^{2} }{9} - {x}^{3}$

частное решение