Question

Срочно!!! 50 баллов, с объяснением
На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым
другим не более одной партии, кроме того, каждый из них сыграл с приглашённым
гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 40 партий. Какое наименьшее
количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Answer 1

Ответ:

Не менее 9-ти школьников

Пошаговое объяснение:

Общее количество партий равно

$N = N_1 + N_2 = 40$

где

$N_1$ - число партий между школьниками

$N_2$ - число партий с гроссмейстером.

Пусть, всего х школьников

Тогда максимальное количество партий между школьниками равно:

$N_1 = \frac{x \cdot(x - 1)}{2}$

т.к. каждый (из х школьников)

сыграл с каждым, исключая себя, т.е. с х-1 оппонентов

максимум 1 партию - (играют двое, поэтому делим на 2)

Тогда максимальное количество партий с гроссом равно:

$N_2 = x$

т.к. гроссмейстер (1 шт.)

сыграл с каждым (из х школьников)

по 1 партии (оппоненты берутся из разных групп, на 2 делить не надо)

Отсюда:

$N_1 + N_2 = 40 \\ \frac{x(x - 1)}{2} + x = 40 \\ x(x - 1) + 2x = 80 \\ {x}^{2} - x + 2x - 80 = 0 \\ {x}^{2} + x - 80 = 0 \\ D = {1}^{2} - 4 \times ( - 80) = 321 \\ x = \frac{ - 1 \pm \sqrt{321} }{2} \\ x = \frac{\sqrt{321} - 1}{2}$

Отрицательный х не рассматриваем - т.к. учеников строго больше нуля

Также учеников строго целое число.

Поэтому оценим приближенно х, ближайшее большее целое и будет ответом:

$x = \frac{\sqrt{321} - 1}{2} \\ \sqrt{289} < \sqrt{321} < \sqrt{324} \\ 17 <\sqrt{321} < 18 \\ \frac{17-1}{2} < \frac{\sqrt{321} - 1}{2} < \frac{18-1}{2} \\ \frac{16}{2} =8 < \frac{\sqrt{321} - 1}{2} < \frac{17}{2} = 8.5 \\ 8 < \frac{\sqrt{321} - 1}{2} <9$

Меньшее число х= 8 из неравенства не подойдет (партий будет меньше 40)

А вот х = 9 (школьников) - и будет решением задачи.

Ответ: минимум 9 школьников.