Question

30баллов Вычислить интеграл​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

здесь самое важное разложить дробь на слагаемые. а потом уже как по накатанному

$\displaystyle \int \bigg (\frac{1}{(x+a)(x+b)} \bigg )dx =\int\ {\frac{1}{x(a-b)+b(a-b)} } \, dx +\int{\frac{1}{-x(a-b)-a(a-b} } \, dx =$

теперь будем делать замену переменных в каждом интеграле

$\displaystyle =\left[\begin{array}{ccc}u=x(f-b)+b(a-b)\\du = (a-b)dx\hfill\\\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}v=-x(a-b)-a(a-b)\\dv=(b-a)dx\hfill\\\end{array}\right] =$

$\displaystyle =\frac{1}{a-b} \int {\frac{1}{u} } \, du +\frac{1}{b-a} \int {\frac{1}{v} } \, dv=\frac{ln v}{b-a} +\frac{lnu}{a-b} +C =$

теперь подставим обратные замены, произведем преобразования и получим

$\displaystyle =\frac{ln \bigg ( (a-b)(b+x) \bigg )- ln \bigg ( -(a-b)(a+x) \bigg ) }{a-b} +C=$

$\displaystyle = \frac{ln(b+x)-ln(a+x)}{a-b} +C=\frac{1}{a-b} ln \bigg (\frac{b+x}{a+x} \bigg )+C$