Question

решить дифференциальное уравнение первого порядка​

Answer 1

Ответ:

а

$(x {y}^{3} + x)dx + ( {x}^{2} {y}^{2} - {y}^{2} )dy = 0 \\ {y}^{2} ( {x}^{2} - 1)dy = - x( {y}^{3} + 1)dx \\ \int\limits \frac{ {y}^{2}dy }{ {x}^{3} + 1} = - \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} - 1} \\ \frac{1}{3} \int\limits \frac{3 {y}^{2} dy}{ {y}^{3} + 1 } = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} - 1 } \\ \frac{1}{3} \int\limits \frac{d( {y}^{3} + 1)}{ {y}^{3} + 1} = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 1)}{ {x}^{2} - 1 } \\ ln( | {y}^{3} + 1 | ) = - \frac{3}{2} ln( | {x}^{2} - 1| ) + ln(C) \\ {y}^{3} + 1 = \frac{C}{ \sqrt{ {( {x}^{2} - 1)}^{3} } }$

общее решение

б

$y'x + x + y = 0 \\ | \div x \\ y'+ 1 + \frac{y}{x} = 0 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y '= u'x + u \\ \\ u'x + u + 1 + u = 0 \\ \frac{du}{dx} x = - 1 - 2u \\ \int\limits \frac{du}{1 + 2u} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2u + 1)}{2u + 1} = - ln( |x| ) \\ \frac{1}{2} ln( |2u + 1| ) = - ln( |x| ) + ln(c) \\ ln | 2u + 1 | = 2 ln( \frac{C}{x} ) \\ 2u + 1 = \frac{C {}^{2} }{x {}^{2} } \\ \frac{2y}{x} + 1 = \frac{ {C}^{2} }{ {x}^{2} }$

общее решение

в

$y' = \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 8 \frac{y}{x} + 12 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = u {}^{2} + 8 u + 12 \\ \frac{du}{dx} x = {u}^{2} + 7u + 12 \\ \int\limits \frac{du}{u {}^{2} + 7u + 12} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits\frac{du}{u {}^{2} + 2 \times u \times \frac{7}{2} + \frac{49}{4} - \frac{1}{4} } = ln(x) + C\\ \int\limits \frac{d(u + \frac{7}{2} )}{( u+ \frac{7}{2} ) {}^{2} - ( \frac{1}{2}) {}^{2} } = ln(x) + ln(C) \\ \frac{1}{2 \times \frac{1}{2} } ln( | \frac{u + \frac{7}{2} - \frac{1}{2} }{u + \frac{7}{2} + \frac{1}{2} } | ) = ln(Cx) \\ \frac{u + 3}{u + 4} = Cx \\ \frac{ \frac{y}{x} + 3}{ \frac{y}{x} + 4 } = Cx \\ \frac{y + 3x}{x} \times \frac{x}{y + 4x} = Cx \\ \frac{y + 3x}{y + 4x} = Cx$

общее решение