Question

Решите дифференциальные уравнения

Answer 1

Ответ:

а

$y'tgx - y = 0 \\ \frac{dy}{dx} tgx = y \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits ctgxdx \\ ln( |y| ) = \int\limits \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } dx \\ ln( |y| ) = \int\limits \frac{d (\sin(x)) }{ \sin(x) } \\ ln( |y| ) = ln( | \sin(x) | ) + ln(c) \\ y = C \sin(x)$

общее решение

б

$y(2 + x)y'= 3 \\ \frac{dy}{dx} \times (2 + x)y = 3 \\ \int\limits \: ydy = 3 \int\limits \frac{dx}{x + 2} \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = 3 \int\limits \frac{d(x + 2)}{x + 2} \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = 3 ln( |x + 2| ) + C \\ {y}^{2} = 6 ln( |x + 2| ) + C$

общее решение

в

$y' + \sin(x) \times y = {e}^{ - \cos(x) } \times \sin(2x) \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + uv \sin(x) = e {}^{ - \cos(x) } \sin(2x) \\ u'v + u(v' + v \sin(x)) = {e}^{ - \cos(x) } \sin(2x) \\ \\ 1) \frac{dv}{dx} + v \sin(x) = 0 \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \sin(x) dx \\ ln(v) = \cos(x) \\ v = {e}^{ \cos(x) } \\ \\ 2)u'v = {e}^{ - \cos(x) } \sin(2x) \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{ \cos(x) } = {e}^{ - \cos(x) } \sin(2x) \\ u = \int\limits {e}^{ - 2 \cos(x) } \sin(2x) dx \\ \\ \text{По частям:} \\ \int\limits {e}^{ - 2 \cos(x) } \times 2\sin(x) \cos(x) dx \\ \\ U= \cos(x) \: \: \: dU= - \sin(x) dx \\ dV= {e}^{ - 2 \cos(x) } \times 2 \sin(x) dx \: \: \: \: \\ V = \int\limits {e}^{ - 2 \cos(x) } d( - 2 \cos(x)) = {e}^{ - 2 \cos(x) } \\ \\ UV - \int\limits \: VdU = \\ = {e}^{ - 2 \cos(x) } \cos(x) + \int\limits {e}^{ - 2 \cos(x) } \sin(x) = \\ = {e}^{ - 2 \cos(x) } \cos(x) + \frac{1}{2} \int\limits {e}^{ - 2 \cos(x) } d( - 2 \cos(x)) = \\ = {e}^{ - 2 \cos(x) } \cos(x) + \frac{1}{2 } {e}^{ - 2 \cos(x) } + C \\ {e}^{ - 2 \cos(x) } ( \cos(x) + 0.5) + C\\ \\ \\ u = {e}^{ - 2 \cos(x) } ( \cos(x) + 0.5) + C \\ \\ y = {e}^{ \cos(x) } ( {e}^{ - 2 \cos(x) } ( \cos(x) + 0.5) + C ) \\ y = C {e}^{ \cos(x) } + {e}^{ - \cos(x) } (\cos(x) + 0.5)$

общее решение

г)

$(1 + {e}^{2x} ) {y}^{2} dy = e {}^{x} dx \\ \int\limits {y}^{2} dy = \int\limits \frac{ {e}^{x}dx }{e {}^{2x} + 1 } \\ \frac{ {y}^{3} }{3} = \int\limits \frac{d(e {}^{x} )}{ {e}^{2x} + 1 } \\ \frac{ {y}^{3} }{3} = arctg( {e}^{x} ) + C$

общее решение

д

$xy + {y}^{2} = (2 {x}^{2} + xy)y. \\ | \div {x}^{2} \\ \frac{y}{x} + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } = (2 + \frac{y}{x} )y. \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y '= u'x + u \\ \\ u + u {}^{2} = (2 + u)(u'x + u) \\ u'x + u = \frac{u + {u}^{2} }{u + 2} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{ u+ {u}^{2} - u(2 + u)}{2 + u} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{ - u}{2 + u} \\ \int\limits\frac{2 + u}{u} du = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ( \frac{2}{u} + 1)du = - ln( |x| ) + C \\ 2 ln( |u| ) + u = - ln( |x| ) + C\\ 2 ln( \frac{y}{x} ) + \frac{y}{x} = - ln( |x| ) + C$

общее решение

е

$y' = \frac{y}{x} + \cos( \frac{y}{x} ) \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = u + \cos(u) \\ \frac{du}{dx} x = \cos(u) \\ \int\limits \frac{du}{ \cos(u) } = \int\limits\frac{1}{x} dx \\ ln( |tg( \frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} | ) = ln( |x| ) + ln(C) \\ tg( \frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} ) = Cx \\ tg( \frac{y}{2x} + \frac{\pi}{4} ) = Cx$

общее решение