Question

70 баллов!! Стороны основания прямого параллелепипеда равны
16 см и 10 см, а острый угол - 60°. Найдите большую
диагональ параллелепипеда, если его высота равна
4корень10 см.

Answer 1

Ответ:

Диагональ параллелепипеда равна 26 см.

Объяснение:

Пусть дан прямой параллелепипед$ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

Основание параллелепипеда параллелограмм ABCD

АВ = 16 см, ВС =10 см , ∠ А= 60°.

Надо найти большую диагональ параллелепипеда. Она опирается на большую диагональ параллелограмма.

Сумма углов параллелограмма при параллельных прямых равна 180°. Тогда ∠В =180°-60°=120°.

Найдем диагональ АС параллелограмма  из Δ АВС по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2AB\cdot BC\cdot cos B;\\AC^{2} =16^{2} +10^{2} -2\cdot 16\cdot 10\cdot cos120^{0}=256+100 -2\cdot160\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) =\\=356+160=516;$

$AC= \sqrt{516}$ см.

Рассмотрим Δ$ACC_{1}$  - прямоугольный . Найдем диагональ параллелепипеда по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AC_{1} ^{2} =AC^{2} +CC_{1} ^{2} ;\\AC_{1}=\sqrt{AC^{2} +CC_{1} ^{2}} ;\\AC_{1}=\sqrt{(\sqrt{516} )+(4\sqrt{10})^{2} } =\sqrt{516+16\cdot10} =\sqrt{516+160} =\sqrt{676} =26$

Значит, диагональ параллелепипеда равна 26 см.