Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений !!!! Пожалуйста помогите!​

Answer 1

Ответ:

а)

$y'' + 6y' = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ e {}^{kx} (k {}^{2} + 6k) = 0 \\ k(k + 6) = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 = - 6 \\ \\ y = C_1 {e}^{0 \times x} + C_2 {e}^{ - 6x} \\ y = C_1 + C_2 {e}^{ - 6x}$

общее решение

б)

$y'' - 8y' + 7y = 0 \\ \\ y = e {}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} (k {}^{2} - 8k + 7) = 0 \\ D = 64 - 28 = 36\\ k_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \\ k_2 = 1 \\ \\ y = C_1 {e}^{x} + C_2 {e}^{7x}$

общее решение

в)

$y ''+ 10y' + 29y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx}( k {}^{2} + 10k + 29) = 0\\ D = 100 - 116 = - 16\\ k_1 = \frac{ - 10 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{ - 10 + 4i}{2} = \\ = - 5 + 2i \\ k_2 = - 5 - 2i \\ \\ y = {e}^{ - 5x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) )$

общее решение

г)

$y'' + 36y = 36 + 66x - 36 {x}^{2}$

1. Решаем ОЛДУ:

$y ''+ 36y = 0 \\ {k}^{2} + 36 = 0 \\ {k}^{2} = - 36 \\ k = \pm6i \\ \\ y = C_1 \sin(6x) + C_2 \cos(6x)$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A{x}^{2} +Bx + C$

$y' = 2Ax + B \\ y ''= 2A$

Подставляем в нлду:

$2A + 36 A{x}^{2} + 36Bx + 36C = 36 + 66x - 36 {x}^{2} \\ \\ 36A = - 36 \\ 36B = 66 \\ 2A+ 36C = 36 \\ \\ A = - 1 \\ B = \frac{66}{36} = \frac{11}{6} \\ C = \frac{36 - 2A}{36} = \frac{38}{36} = \frac{19}{18}$

Получаем:

$y = - {x}^{2} + \frac{11x}{6} + \frac{19}{18}$

общее решение:

$y = C_1 \sin(6x) + C_2 \cos(6x) - {x}^{2} + \frac{11x}{6} + \frac{19}{18}$