Question

Найдите значение выражения: tan1°tan2°...tan89°

Answer 1

Поменяем местами множители:

$\mathrm{tg}1^\circ \mathrm{tg}2^\circ...\mathrm{tg}89^\circ=\mathrm{tg}1^\circ\mathrm{tg}89^\circ\cdot \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{tg}88^\circ\cdot...\cdot\mathrm{tg}44^\circ\mathrm{tg}46^\circ\cdot\mathrm{tg}45^\circ\,\boxed{=}$

Преобразуем некоторые тангенсы:

$\boxed{=}\,\mathrm{tg}1^\circ\mathrm{tg}(90^\circ-1^\circ)\cdot \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{tg}(90^\circ-2^\circ)\cdot...\cdot\mathrm{tg}44^\circ\mathrm{tg}(90^\circ-44^\circ)\cdot\mathrm{tg}45^\circ\,\boxed{=}$

Воспользуемся формулой $\mathrm{tg}(90^\circ-\alpha )=\mathrm{ctg}\,\alpha$:

$\boxed{=}\,\mathrm{tg}1^\circ\mathrm{ctg}1^\circ\cdot \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{ctg}2^\circ\cdot...\cdot\mathrm{tg}44^\circ\mathrm{ctg}44^\circ\cdot\mathrm{tg}45^\circ\,\boxed{=}$

Воспользуемся формулой $\mathrm{tg}\,\alpha\, \mathrm{ctg}\,\alpha =1$, а также табличным значением $\mathrm{tg}45^\circ=1$:

$\boxed{=}\,1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot1=1$