Question

неравенство с логарифмом решить

Answer 1

Ответ:

$log_{\sqrt{x}}(7-x)\cdot log_2x+log_2(4-x)^2\leq 4\\\\ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}7-x>0\\4-x\ne 0\\x>0\ ,\ x\ne 1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x<7\\x\ne 4\\x>0\ ,\ x\ne 1\end{array}\right\\\\\\x\in (\, 0\, ;\, 1\, )\cup (\, 1\, ;\, 4\, )\cup (\, 4\, ;\, 7\, )\\\\\\\dfrac{log_2(7-x)}{log_2\sqrt{x}}\cdot log_2x+2log_2|4-x|-4\leq 0\\\\\\a)\ \ |4-x|=4-x\ ,\ esli\ \ x\in (0;1)\cup (1;4)\\\\b)\ \ |4-x|=x-4\ ,\ \ esli\ \ x\in (4;7)$

$a)\ \ x\in (0;1)\cup (1;4)\ \ ,\ \ \ \dfrac{log_2(7-x)}{\frac{1}{2}\, log_2x}\cdot log_2x+2log_2(4-x)\leq 4\\\\\\2log_2(7-x)+2log_2(4-x)\leq 4\\\\log_2(7-x)+log_2(4-x)\leq 2\\\\log_2((7-x)(4-x))\leq log_22^2\\\\(7-x)(4-x)\leq 4\ \ ,\ \ \ 28-11x+x^2\leq 4\ \ ,\ \ x^2-11x+24\leq 0\ ,\\\\D=25\ ,\ \ x_1=3\ ,\ x_2=8\ \ ,\ \ \ (x-3)(x-8)\leq 0\\\\znaki:\ \ +++(3)---(8)+++\\\\x\in [\ 3\ ;\ 8\ ]\ +\ x\in (0;1)\cup (1;4)\ \ \Rightarrow \ \ \underline{\ x\in [\ 3\ ;\ 4\ )}$

$b)\ \ x\in (4\ ;\ 7\ )\ \ ,\ \ \dfrac{log_2(7-x)}{\frac{1}{2}\, log_2x}\cdot log_2x+2log_2(x-4)\leq 4\\\\\\2log_2(7-x)+2log_2(x-4)\leq 4\\\\log_2(7-x)+log_2(x-4)\leq 2\\\\log_2((7-x)(x-4))\leq log_22^2\\\\(7-x)(x-4)\leq 4\ \ ,\ \ \ 11x-28-x^2\leq 4\ \ ,\ \ x^2-11x+32\geq 0\ ,\\\\D=-7\ ,\ a=1>0\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-\infty ;+\infty )\\\\x\in (-\infty ;+\infty )\ +\ x\in (\ 4\ ;\ 7\ )\ \ \Rightarrow \ \ \underline {x\in (\ 4\ ;\ 7\ )}\\\\Otvet:\ \ x\in [\ 3\ ;\ 4\ )\cup (\ 4\ ;\ 7\ )\ .$