Question

Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на вiдрiзки, один із яких на 2 см менший, ніж інший. Знайдіть площу трикутника, якщо гіпотенуза та другий катет вiдносяться як 5 : 4.​

Answer 1

Ответ:

216

Объяснение:

Введём обозначения:

AB - катет, который делится на AH и HB;   AH = x, тогда HB = x - 2

BC - другой катет (y)

AC - гипотенуза (z)

AC/BC = 5/4 = z/y

Знаем, что биссектриса делит противоположную сторону в таком отношении, в каком делятся две оставшиеся:

5/4 = x / (x - 2)

5(x - 2) = 4x

5x - 10 = 4x

x = 10

Таким образом, длина отрезка AB = AH + HB = 10 + 10 - 2 = 18

По теореме пифагора:

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

$18^2 + y^2 = z^2$

z/y = 5/4; тогда z = 5y/4 - подставим:

$324 + y^2 = (5y/4)^2\\324 + y^2 = 25y^2/16\\5184 + 16y^2 = 25y^2\\5184 = 9y^2\\y^2 = 5184/9 = 576 \\y = \sqrt(576) = 24$

Sabc = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 18 * 24 = 216