Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x^2 - 3), проходящей через точку А(1;-1)
Помогите, пожалуйста, решить

Answer 1

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x² - 3), проходящей через точку А(1;-1)

Пошаговое объяснение:

Пусть х₀-точка касания графика и прямой. Уравнение касательной  

y = f ’(x₀) • (x − x₀) + f (x₀)    .

f (x₀) =√(x₀² - 3),

f ’(x)= $\frac{2x}{2*\sqrt{x^{2}-3 } }$  , f ’(x₀)= $\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }$  

y =  $\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }$ * (x − x₀) + √(x₀² - 3) . Точка  А(1;-1) принадлежит этой касательной , значит ее координаты удовлетворяют этому уравнению

-1 = $\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }$ * (1 − x₀) + √(x₀² - 3)

$-1=\frac{x_0(1 -x_0)}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }+\frac{\sqrt{x_0^{2} -3} }{1} | *\sqrt{x_0^{2} -3 }$

-1*√(x²₀-3) =x₀(1-x₀)+(x₀²-3)

-1*√(x²₀-3) =x₀-x₀²+x₀²-3  ,     -1*√(x²₀-3) =x₀ -3 ,    3- x₀ =√(x²₀-3),

(3- x₀)² =x²₀-3      ,  9-6x₀ +x₀²= x²₀-3     , x₀=2

Тогда f ’(2)= $\frac{2}{\sqrt{2^{2}-3 } }=2$  ,  f (2) =√(2² - 3) =1.

y = 2 • (x − 2) +1  или  у=2х-3   .