Question

Найдите все натуральные числа n , при каждом из которых число $1000^{n}+1002^{n}$ делится нацело на 1001 . В ответе укажите наибольшее такое число, не превосходящее 1000

Answer 1

Воспользуемся методом сравнений остатков , я буду обозначать как  $mod(a)$
то есть очевидно что $1000^n$ в любой степени сравнима с $1000^n=-1 mod(1001)$
тогда как $1002^n=1 mod(1001)$
то есть теперь уже рассмотрим степени эти чисел . Допустим $n=2k$ тогда 
$(-1)^{2k}+1^{2k}=2$ на не интересует 
тогда как при нечетных очевидно что $1-1=0$ , то есть при каждом нечетной степени будет делится , а наибольшее будет равна n=999