Question

найдите частное решение дифференциального уравнения: y''-6y'+9y=0 при условии y(0)=1. y(1)=2
Помогите пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

$y'' - 6y' + 9y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 6k + 9) = 0 \\ {(k - 3)}^{2} = 0 \\ k_1 = k_2 = 3 \\ \\ y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{3x} x$

общее решение

$y(0) = 1,y'(1) = 2$

$y '= 3C_1 {e}^{3x} + 3C_2 {e}^{3x} x + C_2 {e}^{3x}$

$1 = C_1 \\ 2 = C_1 {e}^{3} + 3C_2 {e}^{3} + C_2 {e}^{3} \\ \\ C_1 = 1 \\ 4{e}^{3} C_2 = 2 - {e}^{3} \\ \\ C_1 = 1\\ C_2 = \frac{2 - {e}^{3} }{4e {}^{3} }$

$y = {e}^{3x} + \frac{2 - {e}^{3} }{4 {e}^{3} } {e}^{3x} x \\ y = {e}^{3x} + \frac{2 - {e}^{3} }{4} {e}^{3x - 3} x$

частное решение