Question

Помогите пожалуйста сделать дифференциальное уравнение:
xy'=y(1+ln(y/x)) , y(1)=1/sqrt(e).

Answer 1

Ответ:

$xy '= y(1 + ln( \frac{y}{x} ) )$

это однородное ДУ

$| \div x \\ y '= \frac{y}{x} (1 + ln( \frac{y}{x} ) )$

Замена:

$\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = u(1 + ln(u)) \\ u'x = u(1 + ln(u)) - u \\ \frac{du}{dx} x = u(1 + ln(u) - 1) \\ \int\limits \frac{du}{u ln(u) } = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d( ln(u)) }{ ln(u) } = ln(x) + ln(C) \\ ln( ln(u) ) = ln(Cx) \\ ln(u) = Cx \\ ln( \frac{y}{x} ) = Cx \\ \frac{y}{x} = {e}^{Cx} \\ y = xe {}^{Cx}$

общее решение

$y(1) = \frac{1}{ \sqrt{e} }$

$ln( \frac{1}{ \sqrt{e} } ) = C\times 1 \\ C = - \frac{1}{2}$

$y = x {e}^{ - \frac{x}{2} }$

частное решение