Question

xy'=2sqrt(x^2+y^2)+y​ решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

Однородное ДУ

$xy' = 2 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } + y \: \: \: | \div x \\ y = 2 \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } }{x} + \frac{y}{x} \\ y = 2 \times \sqrt{ \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x} \\ y = 2 \times \sqrt{1 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x}$

замена:

$\frac{y}{x} = u\\ y' = u'x + u$

$u'x + u = 2 \sqrt{1 + {u}^{2} } + u \\ \frac{du}{dx} x = 2 \sqrt{1 + u {}^{2} } + u - u \\ \int\limits \frac{du}{ \sqrt{1 + {u}^{2} } } = 2\int\limits \frac{dx}{x} \\ ln( |u + \sqrt{1 + {u}^{2} } | ) = 2 ln( |x| ) + ln(C) \\ ln( |u + \sqrt{1 + {u}^{2} } | ) = ln(Cx^2) \\ u + \sqrt{1 + {u}^{2} } = Cx^2 \\ \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } = Cx^2$

общее решение