Question

При каких значениях m неравенство my2 – y + 4m < 0 не будет иметь решений?
Если в полученном ответе есть +∞, то вводи +Б, а если –∞, то вводи –Б.
Ответ: m ∈ [
;
).

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ m \in [0,25;+\infty) \cup \{-0,25\} }$

Объяснение:

$my^{2} - y + 4m < 0$

При каких m, x ∈ ∅?

1) случай m > 0 и D ≠ 0

По теореме если у квадратного трехчлена D < 0 и коэффициент при переменной в квадрате больше нуля

(m > 0), то квадратный трехчлен всегда больше нуля, то есть для данного неравенство будет выполнятся условие

x ∈ ∅.

$D = 1 - 4 \cdot m \cdot 4m = 1 - 16m^{2}$

$D < 0$

$1 - 16m^{2} < 0$

$(1 - 4m)(1 + 4m) < 0$

$m \in (-\infty;-0,25) \cup \(0,25;+\infty)$

При этом так как m > 0, то составим систему:

$\displaystyle \left \{ {{(1 - 4m)(1 + 4m) < 0} \atop {m > 0 }} \right \displaystyle \left \{ {{m \in (-\infty;-0,25) \cup (0,25;+\infty)} \atop {m \in (0;+\infty) }} \right \Longrightarrow \boxed{ m \in (0,25;+\infty)}$

А если квадратный трехчлен будет иметь корни (D > 0), то будут промежутки, где функция меняет знак.

2) случай m < 0 и D ≠ 0

Так как m < 0, то при D < 0 квадратный трехчлен всегда будет меньше нуля, то есть будут корни. А если квадратный трехчлен будет иметь корни (D > 0), то будут промежутки, где функция меняет знак, то есть $\boxed{ m \in \varnothing }$

3) случай D = 0 и $m \in \mathbb R$

$D = 1 - 4 \cdot m \cdot 4m = 1 - 16m^{2}$

$D = 0$

$1 - 16m^{2} = 0$

$(1 - 4m)(1 + 4m) = 0$

$m_{1,2} = \pm0,25$

При D = 0 квадратный трехчлен представим в виде $(g(x))^{2} < 0$, где $g(x) \Longleftrightarrow my^{2} - y + 4m$ при D = 0.

Однако при $g(x) = 0$ решений неравенство не будет иметь, тогда $x \in \varnothing$ при $\boxed{ m_{1,2} = \pm0,25}$.

Объединяем случаи 1), 2), 3) :

$m \in [0,25;+\infty) \cup \{-0,25\}$