Question

Помогите решить задание на фото

Answer 1

Ответ:

1.

$xydx = (1 + {x}^{2}) dy \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{xdx}{1 + {x}^{2} } \\ ln( |y| ) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } \\ ln( |y| ) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + x {}^{2} )}{1 + {x}^{2} } \\ ln( |y| ) = \frac{1}{2} ln( |1 + {x}^{2} | ) + ln(C) \\ y = C\sqrt{1 + {x}^{2} }$

общее решение

2.

$(1 + y)dx = (1 - x)dy \\ \int\limits \frac{dy}{1 + y} = \int\limits \frac{dx}{1 - x} \\ \int\limits \frac{d(y + 1)}{y + 1} = - \int\limits \frac{d(1 - x)}{1 - x} \\ ln( |y + 1| ) = - ln( |1 - x| ) + ln(C) \\ y + 1 = \frac{C}{1 - x}$

общее решение

$y( - 2) = 3$

$\\ 1 + 3 = \frac{C}{1 + 2} \\ C= 4 \times 3 = 12$

$y + 1 = \frac{12}{1 - x} \\ y = \frac{12 - (1 - x)}{1 - x} \\ y = \frac{12 - 1 + x}{1 - x} \\ y = \frac{x + 11}{1 - x}$

частное решение

3.

$y'' - 5y' = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 5k ) = 0\\ k_1 = 0\\ k_2 = 5 \\ y = C_1 + C_2 e {}^{5x}$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = - 1$

$y = 5C_2 {e}^{5x}$

$1 = C_1 + C_2 \\ - 1 = 5C_2 \\ \\ C_2 = - \frac{1}{5} \\ C_1 = 1 - C_2 = \frac{6}{5}$

$y = \frac{6}{5} - \frac{1}{5} {e}^{5x}$

частное решение