Question

Вычислить интеграл (заранее спасибо)

Answer 1

Найдем неопределённый интеграл:

$\int\limits( {x}^{2} + 2) {e}^{ \frac{x}{2} } dx$

По частям:

$u = {x}^{2} + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: du = 2xdx \\ dv = {e}^{ \frac{x}{2} } dx \: \: \: v = 2\int\limits {e}^{ \frac{x}{2} } d( \frac{x}{2} ) = 2 {e}^{ \frac{x}{2} } \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = 2( {x}^{2} + 2) {e}^{ \frac{x}{2} } - \int\limits2x \times 2 {e}^{ \frac{x}{2} } dx = \\ = (2 {x}^{2} + 4) {e}^{ \frac{x}{2} } - 4\int\limits \: xe {}^{ \frac{x}{2} } dx \\ \\ u = x \: \: \: \: \: \: \: \: \: du = dx \\ dv = {e}^{ \frac{x}{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: v = 2 {e}^{ \frac{x}{2} } \\ \\ (2 {x}^{2} + 4) {e}^{ \frac{x}{2} } - 4(2x {e}^{ \frac{x}{2} } - \int\limits2 {e}^{ \frac{x}{2} } dx) = \\ = (2 {x}^{2} + 4) {e}^{ \frac{x}{2} } - 8x {e}^{ \frac{x}{2} } + 8 \times 2 {e}^{ \frac{x}{2} } + C = \\ = {e}^{ \frac{x}{2} } (2 {x}^{2} + 4 - 8x + 16) + C= \\ = {e}^{ \frac{x}{2} } (2 {x}^{2} - 8x + 20) + C$

Подставляем пределы:

${e}^{ \frac{x}{2} } (2 {x}^{2} - 8x + 20) |^{ 0 } _ { - 2} = \\ = {e}^{0} (0 + 20) - {e}^{ - 1} (8 + 16 + 20) = \\ = 20 - \frac{44}{e}$