Question

а)решите уравнение.(cosx-sinx)^2+корень из 2sin(3п/4-2x)+корень из 3cosx=0
б)укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку -4п/3;-2п/3

Answer 1

Ответ:

а)

$\boxed{ \left[ \begin{gathered} \left\ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb Z \\ x = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} }$

б)

$x \in \bigg \{ -\dfrac{5\pi }{6}; -\dfrac{7\pi }{6} \bigg \};$

$\bigg \{ -\dfrac{5\pi }{6}; -\dfrac{7\pi }{6} \bigg \} \subset \bigg [-\dfrac{4 \pi}{3} ; -\dfrac{2 \pi}{3} \bigg ]$

Примечание:

$\dfrac{3 \pi}{4} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi} = 135^{\circ}$

$-\dfrac{4 \pi}{3} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi} = -240^{\circ}$

$-\dfrac{2 \pi}{3} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi} = -120^{\circ}$

Объяснение:

$(\cos x - \sin x)^{2} + \sqrt{2} \sin \bigg(\dfrac{3 \pi}{4} - 2x \bigg) + \sqrt{3} \cos x = 0; x \in \bigg [-\dfrac{4 \pi}{3} ; -\dfrac{2 \pi}{3} \bigg ]$

а)

$(\cos x - \sin x)^{2} = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$

б)

$\sqrt{2} \sin \bigg(\dfrac{3 \pi}{4} - 2x \bigg) = \sqrt{2} \bigg (\sin \bigg(\dfrac{3 \pi}{4} \bigg) \cos 2x - \cos \bigg(\dfrac{3 \pi}{4} \bigg) \sin 2x \bigg) =$

$= \sqrt{2} \bigg(\dfrac{\sin( 2x)\sqrt{2} }{2} + \dfrac{\cos (2x)\sqrt{2} }{2} \bigg) = \bigg(\dfrac{\sqrt{2}\sin (2x)\sqrt{2} }{2} + \dfrac{\sqrt{2}\cos (2x)\sqrt{2} }{2} \bigg)=$

$= \sin 2x + \cos 2x$

$1 - \sin 2x + \sin 2x + \cos 2x + \sqrt{3} \cos x = 0$

$\cos 2x + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0$

$2\cos^{2} x -1 + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0$

$2\cos^{2} x + \sqrt{3} \cos x = 0$

$\cos x (2 \cos x + \sqrt{3}) = 0$

$\left[ \begin{gathered} \left\ \cos x = 0 \\ 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \end{gathered} \left[ \begin{gathered} \left\ \cos x = 0 \\ 2 \cos x = - \sqrt{3}|:2 \end{gathered}\\\left[ \begin{gathered} \left\ \cos x = 0 \\ \cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$

$\left[ \begin{gathered} \left\ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb Z \\ x = \pm \arccos \bigg (-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg) + 2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered}$  $\left[ \begin{gathered} \left\ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb Z \\ x = \pm \bigg(\pi- \arccos \bigg (\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg) \bigg) + 2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered}$

$\left[ \begin{gathered} \left\ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb Z \\ x = \pm \bigg( \pi- \dfrac{\pi}{6} \bigg) + 2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered}$   $\boxed{ \left[ \begin{gathered} \left\ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb Z \\ x = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered} }$

Так как косинус - четная функция $(\cos (-x) = \cos (x))$, то промежуток поиска корней можно изменить:

$x \in \bigg [-\dfrac{4 \pi}{3} ; -\dfrac{2 \pi}{3} \bigg ] \Longleftrightarrow \boxed{ x \in \bigg [\dfrac{4 \pi}{3} ; \dfrac{2 \pi}{3} \bigg ]}$

$n = 0: \left[ \begin{gathered} \left\ \boxed{ x = \dfrac{5\pi}{6} }\\ x = - \dfrac{5\pi}{6} \end{gathered}$

$n = 1: \left[ \begin{gathered} \left\ \ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2 \pi \\\boxed{ x = - \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{-5 \pi + 12 \pi}{6} = \dfrac{7 \pi}{6} }\end{gathered}$

$k = 0: x = \dfrac{\pi}{2}$

$k = 1: x = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{2\pi}{2} = \dfrac{\pi + 2\pi}{2} = \dfrac{3 \pi}{2}$ - не входит в множество решений.

Так как косинус - четная функция $(\cos (-x) = \cos (x))$, то промежуток поиска корней можно изменить на первоначальный при этом корни поменяют знак, то есть:

$x \in \bigg \{ -\dfrac{5\pi }{6}; -\dfrac{7\pi }{6} \bigg \};$