Question

ПОМОГИТЕ!!!!! ОЧЕНЬ НУЖНО!!!

Answer 1

Ответ:

везде замена

$y = {e}^{kx}$

1.

$y'' - 2y' - 8y = 0 \\ {k}^{2} - 2k - 8 = 0 \\ D = 4 + 32 = 36 \\ k_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \\ k_2 = - 2 \\ y = C_1 {e}^{4x} + C_2 {e}^{ - 2x}$

общее решение

2.

$y ''+ 5y' = 0 \\ {k}^{2} + 5 k = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 = - 5 \\ y = C_1 + C_2 {e}^{ - 5x}$

общее решение

$y(1) = 2,y'(1) = 1$

$y '= - 5C_2e {}^{ - 5x}$

$2 = C_1 + C_2 {e}^{ - 5} \\ 1 = - 5C_2e {}^{ - 5} \\ \\ {e}^{ - 5} C_2 = - \frac{1}{5} \\ C_2 = - \frac{ {e}^{5} }{5} \\ \\ C_1 = 2 - C_2 {e}^{ - 5} = 2 + \frac{ {e}^{5} }{5} \times {e}^{ - 5} = \\ = 2 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$

$y = \frac{11}{5} - \frac{ {e}^{5} }{5} {e}^{ - 5x} = \frac{11}{5} - \frac{ {e}^{5 - 5x} }{5} = \\ = \frac{1}{5} (11 - {e}^{5 - 5x} )$

частное решение

3.

$y'' - y' = 0 \\ k {}^{2} - k = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 = 1 \\ y = C_1 + C_2 {e}^{x}$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 2$

$y' = C_2 {e}^{x}$

$1 = C_1 + C_2 \\ 2 = C_2 \\ \\ C_2 = 2 \\ C_1 = - 1$

$y = - 1 + 2 {e}^{x}$

частное решение